<aside> 🍒 Функциональной последовательностью будем называть:
$\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ , $x \in E$
Это бесконечно занумерованное мн-во функций
</aside>
Пример функциональной последовательности: $f_n(x) = arctg^nx$, последовательность: $arctg^1 x, arctg^2 x, arctg^3 x, …$
<aside> 🍒 $\{f_n(x)\}$ сходится в точке $x_0$, если $x_0 \in E$ и $\{f_n(x_0)\}$ (которая в данном случае будет числовой последовательностью) сходится
</aside>
<aside> 🍒 Если в каждой точке $x \in E \;\ \exist\displaystyle\lim_{n \rarr \infty}f_n(x) =: f(x)$, то он называется поточечным пределом последовательности $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$
Будем говорить, что $\{f_n(x)\}$ сходится к функции $f(x)$ на множестве $E$ поточечно Запись по определению: $\forall \, x \in E \ \ \forall \, \varepsilon > 0 \ \ \exist \, N \in \N \; \ \forall \, n > N \; \ \ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$
наш любимый предел последовательности, в который добавили $\forall \, x \in E$ в начале, т.е. для любого $x$ полученная числовая последовательность будет сходится
Будем обозначать это так: $f_n(x) → f(x)$ или так $f_n(x) \xrightarrow[n \rarr \infty]{} f(x)$ на $E$
</aside>
<aside> 🍒 Пусть $E$ - множество $\{f_n(x)\}$ сходится к функции $f$ на множестве $E$ равномерно, если $\forall \, \varepsilon > 0 \; \ \exist \, N \in \N \; \ \forall \, n > N \; \ \forall \, x \in E \; \ |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$
А что собственно поменялось по сравнению с поточечной, а то что у нас $\forall \, x \in E$ переехало за $n > N$ и теперь $\varepsilon$ и $N$ не зависят от $x$, далее подробнее про различия Обозначать это мы будем так:
$f_n \underset{n \to \infty}{\large \rightrightarrows} f$ на $E$
</aside>
Если $\{f_n(x)\}$ ****сходится к $f$ равномерно, то сходится и поточечно. Но обратно - неверно
В определении равномерной сходимости мы можем свапнуть $\forall x \in E$ и $\forall n > N$ местами, т.к. они не зависят друг от друга и имеют одинаковые кванторы
<aside> 🔥 $f_n(x) \rightrightarrows f(x)$ на $E$ $\Harr$ $\displaystyle\sup_{x\in E} |f_n(x) - f(x)| → 0$
</aside>
<aside> 🍒 $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ - функциональная последовательность, $x \in E$
Символ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ - называется функциональным рядом
$S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n f_k(x)$ - называются частичными суммами функционального ряда
</aside>
<aside> 🍒 Говорят, что функциональный ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ сходится поточечно на $E$ к сумме $S(x)$, если он сходится в каждой точке $x \in E$
$\forall \, x \in E \ \ \forall \, \varepsilon > 0 \ \ \exist \, N \in \N \ \ \forall \, n > N \ \ \left|\displaystyle\sum_{k=1}^n f_k(x) \, - S(x)\right| < \varepsilon$
</aside>