<aside> 💡
$\forall k \in \N ~~ \exist f^{(k)}(z_0)$, тогда $\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac {f^{(k)}(z_0)} {k!} (z - z_0)^k$ называется ряд Тейлора $f$ в точке $z_0$, а $c_k = \frac {f^{(k)}(z_0)} {k!}$ - коэффициентами Тейлора.
</aside>
<aside> 💡
Если $f(z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k (z - z_0)^k$ ($f$ представима степенным рядом), то это ряд Тейлора.
Если $f(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k (x - x_0)^k$, то $c_k = \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!}$.
</aside>
<aside> 💡
$f$ называется аналитической (голоморфной) в точке $z_0$, если $\exist U(z_0) ~~ \forall z \in U(z_0) ~~ f(z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty c_k (z - z_0)^k$. $f$ аналитическая на $D$, если $f$ аналитическая в каждой точке $D$.
Обозначение: $A(D)$.
$f$ аналитическая в точке $z_0$ $~\Harr~$$f$ дифференцируемая в смысле $\Bbb{C}$ в точке $z_0$$\left( \exist \lim_{z \rarr z_0} \frac {f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \right)$.
</aside>
<aside> 💡
$$ f(x) = \begin{cases} e^{ -1 / x^2 }, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$
$$ f\in C^{(\infty)} (\R \ \backslash \ \{0\}) $$
</aside>
<aside> 1️⃣
Докажем, что это функция бесконечно дифференцируемая.
Для этого докажем, что все $f^{(n)}(0) = 0$, тогда ряд Тейлора для $f: 0 + 0 \cdot x + ...$ .
<aside> 1️⃣
Докажем по индукции равенство ($P_n$ - просто многочлен n-ой степени)
$$ f^{(n)}(x) \xlongequal[x \not = 0]{} P_n \left( \frac {1} {x} \right) ~ e^{-1 / x^2} ~ : $$
База $n = 0$: $f(x) = e^{-1 / x^2}$, $P_0 (\frac {1}{x}) = 1$.
Индукционный переход $n \rarr n + 1$:
$$ f^{(n + 1)}(x) = \left( P_n\left( \frac{1}{x}\right)e^{-1/x^2} \right)'=\left(P'_n\left( \frac{1}{x}\right) \frac{-1}{x^2} + \frac{2}{x^3} P_n\left( \frac{1}{x}\right)\right) e^{-1/x^2} $$
$$ f^{(n + 1)}(x) = (f^{(n)}(x))' \xlongequal[]{ИП} \left( P_n \left( \frac {1} {x} \right) e^{-1 / x^2} \right)' = P'n \left( \frac {1} {x} \right) \cdot \frac {-1} {x^2} \cdot e^{-1 / x^2} + P_n \left( \frac {1} {x} \right) \cdot e^{-1 / x^2} \cdot \frac {2} {x^3} = P{n + 1} \left( \frac {1} {x} \right) \cdot e^{-1 / x^2} ~ . $$
</aside>
<aside> 2️⃣
<aside> 3️⃣
По индукции докажем $f^{(n)}(0) = 0$:
База $n = 0$: $f(0) = 0$ по условию.
Индукционный переход $n \rarr n + 1$:
$$ f^{(n + 1)}(0) = \lim_{x \to 0} \frac { f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0) } {x} = \lim_ {x \to 0} \underbrace { \frac {1} {x} \cdot P_n \left( \frac {1} {x} \right) }_{ =~0 {~из~(2.)}} \cdot e^{-1 / x^2} = 0 \rArr f(x) \in C^\infin(\R) ~ . $$
</aside>
<aside> 4️⃣
Таким образом, все коэффициенты в ряде Тейлора (с центром в нуле) равны нулю.
Ряд Тейлора с центром в нуле сходится к нулю всюду, а равенство $f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ справедливо только для $x=0$ ⇒ функция неаналитическая в 0 (хотя и бесконечно дифференцируемая).
Далее распространим то же самое на комплексное поле:
</aside>
</aside>
<aside> 2️⃣
$$ f'(0) = \lim_{z \to 0} \frac {f(z) - f(0)}{z} = \lim_{z \rarr 0} \frac {1}{z} e^{-1 / z^2} ~ . $$
По Гейне:
$$ z_n = \frac {1} {i \cdot n} \rArr \lim_{n \to \infin} (i \cdot n \cdot e^{n^2}) = + \infin. $$
</aside>