Теорема о равенстве функции и её ряда Тейлора

<aside> <img src="/icons/playback-pause_gray.svg" alt="/icons/playback-pause_gray.svg" width="40px" /> Замечание: $x \in \mathbb{R}$

$$ f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!}(x-x_0)^k}\text{ряд Тейлора}+\underbrace{r_n(x, x_0)}\text{остаток} $$

$$ r_n(x, x_0) = \frac{f^{(n+1)}(x_0+\Delta(x - x_0))}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}, \\ \Delta \in [0, 1] $$

Отсюда получаем Вывод

$$ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!}(x-x_0)^k = f(x) \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} r_n(x, x_0) = 0 $$

Доказательство:

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!}(x-x_0)^k = f(x) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(\sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!}(x-x_0)^k - f(x)) = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(\sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!}(x-x_0)^k - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x_0)} {k!}(x-x_0)^k+r_n(x, x_0)) = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(r_n(x, x_0)) = 0$

</aside>

Использование теоремы для функций $e^x$, $\sin x$, $\cos x$

• $e^x = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac{x^k}{k!}$
• $\sin x = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}$

$\cos x = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}$ — получается СИЛЬНО аналогично синусу, так что скип, сорри.

почему так нахуй (Что-то на древнем, в конспектах такого не было)