Преамбула

Вспомним предыдущий вопрос, и запишем те же ряды Тейлора, но с комплексным аргументом

$$ e^z = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac{z^k}{k!} $$

$$ \sin(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1} $$

$$ \cos(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k)!}z^{2k} $$

Нам предстоит доказать некоторые свойства этих функций комплексного переменного.

Свойства $e^z$ и их доказательства (было на паре)

1. Формула Эйлера $e^{iz} = \cos(z) +i\sin(z)$

   • Доказательство

2. $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}$

   • Доказательство

3. $e^z=e^x(\cos(y)+i\sin(y))$, где $z=x+iy$

   • Доказательство
   • Рассуждения о периоде $e^z$

4. $(e^z)'=e^z$

   • Доказательство

5. График

   • Построение графика

   Свойства $\sin(z), \cos(z)$ (дали домой)

   Пригодится знать формулы Эйлера для синуса и косинуса (они очень легко выводятся из формулы Эйлера для экспоненты выше, распишите её для -iz и полусложите (полувычтите) с обычной экспонентой)

   $\cos z = \dfrac {e^{iz} + e^{-iz}} {2}$

   $\sin z = \dfrac {e^{iz} - e^{-iz}} {2i}$

   1. Неограниченность на $\Bbb{C}$
      • Доказательство
   2. $|\sin(x+iy)|=\sqrt{\sin^2(y)+\sh^2(y)}$ и $|\cos(x+iy)|=\sqrt{\cos^2(x)+\sh^2(y)}$
      • Доказательство от Вячеслава Зорича (сам придумывал, если что пишите)

• Старая версия