Аналогии для рядов даны без доказательств, обозначаются $\rq$.

$Th$ - theorema, а $СЛ$ - следствие

$Th \ 1$: Теорема о перестановке пределов

<aside> 💡

$E\subset\R^d,\ x_0$ — предельная точка $E$, $f_n, f: E \rarr \R(или\ \Bbb{C})$ и выполняются условия:

1. $f_n$ равномерно сходится к $f$ на $E$

2. $\forall n\in\N\ \exist \lim\limits_{x \rarr x_0} f_n(x) = A_n\in\R(или\ \Bbb{C})$

   Тогда пределы $\lim\limits_{n \rarr \infty} A_n$ и $\lim\limits_{x \rarr x_0} f(x)$ существуют, конечны и равны, то есть:

$$ \lim\limits_{x \rarr x_0} \lim\limits_{n \rarr \infty} f_n(x)=\lim\limits_{n \rarr \infty} \lim\limits_{x \rarr x_0} f_n(x). $$

</aside>

Доказательство.

<aside> 🧠

$f_n$ равномерно сходится к $f$ на $E$ $\xRightarrow[]{По\ критерию\ Коши}$ $\exist N\ \forall n, m > N,$ при $\ x\rarr x_0:$

$$ |f_n(x) - f_m(x)|<\varepsilon \ \\|A_n-A_m|<\varepsilon $$

• пояснение

По критерию Коши для числовой последовательности $\{A_n\}$ получаем, что $A_n$ сходится.

Пусть $A=\lim\limits_{n \rarr \infty} A_n$

Остается доказать, что $\underset{x \rarr x_0}{f(x)}\rarr A$

• пояснение

Зафиксируем какой-то $\varepsilon>0:\ f_n$ равномерно сходится к $f$ значит по определению равномерной сходимости:

$$ \rArr\exist N\ \forall n> N\ \forall x \in E~~ |f_n(x)-f(x)|<\dfrac{\varepsilon}{3} $$

Так как $A=\lim\limits_{n \rarr \infty} A_n$ верно что:

$$ \exist K\ \forall n> K\: |A_n-A|<\dfrac{\varepsilon}{3} $$

Положим $M\coloneqq \max\{K, N\}+1$. Тогда при любом $x \in E$:

$$ |f_M(x)-f(x)|<\dfrac{\varepsilon}{3}\\|A_M-A|<\dfrac{\varepsilon}{3} $$

По определению предела функции найдется такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0$, что $\forall x \in \mathring{U}(x_0) \cap E$ будет верно, что

$$ |f_M(x)-A_M|<\dfrac{\varepsilon}{3} $$

$\rArr$ для всех таких $x$:

$$ |f(x) - A| = |f(x) - A \pm A_M \pm f_M(x)|≤ $$

$$ ≤|f(x)-f_M(x)|+|f_M(x)-A_M|+|A_M-A|<\dfrac{\varepsilon}{3}+\dfrac{\varepsilon}{3}+\dfrac{\varepsilon}{3}=\varepsilon $$

Это и значит, что $f(x) \xrightarrow[x \rarr x_0]{} A \quad \square$

• Замечание

</aside>

$Th' \ 1$: Почленный переход к пределу

<aside> 💡

$E\subset\R^d,\ x_0$ — предельная точка $E$, $f_k: E \rarr \R(или\ \Bbb{C})$ и выполняются условия:

1. ряд $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}f_k$ равномерно сходится к сумме $S$ на $E$
2. $\forall k\in\N\ \exist \lim\limits_{x \rarr x_0} f_k(x) = \alpha_k\in\R(или\ \Bbb{C})$

$\rArr$ряд $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k$ сходится к некоторой сумме $A\in\R(или\ \Bbb{C})$, а предел $\lim\limits_{x \rarr x_0} S(x)$ существует и равен $A$, то есть

$$ \lim\limits_{x \rarr x_0} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \lim\limits_{x \rarr x_0} f_k(x). $$

</aside>

• пояснение

$СЛ \ 1$: Непрерывность предельной функции в точке

<aside> 💡

$E\subset\R^d,\ x_0 \in E,$ $f_n, f: E\rarr \R(или\ \Bbb{C})$ и выполняются условия:

1. $f_n$ равномерно сходится к $f$ на $E$
2. $\forall n\in\N\ f_n$ непрерывна в точке $x_0$

$\rArr$ $f$ непрерывна в точке $x_0$.

</aside>

Доказательство.

<aside> 🧠

Если $x_0$ — изолированная точка $E,$ то очевидно, так как функция всегда непрерывна в изолированной точке.

Если $x_0$ — предельная точка $E,$ то выполнены условия $Th \ 1$, причем $A_n = f_n(x_0)$:

$$ \lim_{x \rarr x_0} f(x)=\lim_{n \rarr \infty}A_n = f({x_0}), $$

что и означает непрерывность $f$ в точке $x_0$. $\ \square$

</aside>

$СЛ' \ 1$: Непрерывность суммы ряда в точке

<aside> 💡

$E\subset\R^d,\ x_0 \in E,$ $f_k: E \rarr \R(или\ \Bbb{C})$ и выполняются условия:

1. ряд $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}f_k$ равномерно сходится к сумме $S$ на $E$
2. $\forall k\in\N\ f_k(x)$ непрерывна в точке $x_0$

$\rArr$ $S$ непрерывна в точке $x_0$.

</aside>

$СЛ \ 2$: Теорема Стокса-Зайделя

(Непрерывность предельной функции на множестве)