Равномерная норма

<aside> 🔥

На множестве функций, ограниченных на некотором $E$, можно ввести норму

$\|f\|≔\underset {x \in E} \sup |f(x)|$

</aside>

<aside> 🧠

Проверим свойства нормы (её значения конечны, ведь функции ограничены):

1. $‖f‖≥0$ и $‖f‖=0⇔∀x \in E \ \ f(x) =0$ (как супремум модулей).

2. $∀λ\in\R \ \ \|λf\|= \underset {x \in E} \sup |λf(x)| = |λ| \, \underset {x \in E} \sup|f(x)| =|λ|\,\|f\|$.

3. $\underset {x \in E} \sup|f(x)+g(x)| \le \underset {x \in E} \sup(|f(x)|+|g(x)|) \le \underset {x \in E} \sup|f(x)| +\underset {x \in E} \sup|g(x)|$

   откуда

   $\|f+g\|=\underset {x \in E} \sup|f(x)+g(x)|\le \underset {x \in E} \sup|f(x)| +\underset {x \in E} \sup|g(x)| =\|f\|+\|g\|$

</aside>

Следствие

<aside> 🔥

$f_n(x) \underset{n \to \infty}{\large \rightrightarrows} f(x)$ на $E$ $\Harr \|f_n-f\| \underset {n \rightarrow ∞}→ 0$

</aside>

<aside> 🧠

Доказательство:

по критерию равномерной сходимости,

$f_n(x) \underset{n \to \infty}{\large \rightrightarrows} f(x)$ на $E$ $\Harr \underset {x \in E} \sup|f_n(x)-f(x)| \underset {n \rightarrow ∞}→ 0\Harr \|f_n-f\| \underset {n \rightarrow ∞}→ 0$ $\blacksquare$

</aside>

Пространство C(K)

<aside> 🍒

Пусть $K$ – компакт, $C(K)$ - линейное пространство всех непрерывных функций, определённых на $K$

</aside>

<aside> 🍒

Линейное пространство $C(K)$ имеет норму $\|f\|_C≔ \underset {x \in K} \sup |f(x)|$

</aside>

Полное метрическое пространство

<aside> 🍒

Метрическое пространство ($X,ρ$) называется полным, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится к элементу этого пространства

</aside>

Пример полного пространства - вещественная прямая

$Th$ : Полнота пространства $C(K)$

<aside> 🔥

Пространство $C(K)$ полное

</aside>

<aside> 🧠

Доказательство:

Для начала, $C(K)$ метрическое, так как нормированное.

Пусть $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ – фундаментальная последовательность в $C(K)$,

то есть $f_n$ непрерывная на $\cancel {C(K)}$ $K$ функция и

$∀ε>0 \ \ ∃N=N(\varepsilon):∀n,m >N \ \ \|f_n-f_m\|C=\underset {x \in K} \sup |f_n(x)-f_m(x)| <ε \Harr \{f_n\}{n=1}^\infty$ равномерно сходится на $K$ к некоторой $f$ ,

а так как по условию $f_n$ непрерывны на $K$, то по т. Стокса-Зейделя, и $f$ непрерывна на $K$, то есть $f∈C(K).$ $\blacksquare$

</aside>