Определение

<aside> 💡

Пусть $X$ - топологическое пространство, $A$ - $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества, $\mu$ - мера на $A$. $\mu$ называется регулярной, если $\forall E \in A \; \mu E = \inf\{\mu G\; |\; G-открытое\; и\; G\supset E\}=\sup\{\mu F \;|\; F - замкнутое \; и\; F \subset E \}$.

</aside>

Формулировка теоремы

<aside> 💡

Мера Лебега регулярна.

</aside>

Доказательство теоремы

<aside> 🥸

$\alpha = \inf\{\lambda G \;|\; G - открытое \;и\; G \supset E\}$

$G \supset E \implies \lambda G \geq \lambda E \implies \alpha \geq \lambda E$

По предыдущей теореме $\forall \varepsilon >0 \;\exists \; G -открытое \; и\; G \supset E \; : \lambda(G\backslash E)< \varepsilon \iff \lambda G - \lambda E < \varepsilon \iff \lambda G < \lambda E + \varepsilon \implies \alpha \le \lambda E + \varepsilon, \; \varepsilon \rightarrow 0 \implies \alpha \le \lambda E.$

Для инфинума доказали. Теперь провернём абсолютно то же самое для супремума.

$\beta = \sup\{\lambda F \;|\; F - замкнутое \;и\; F \subset E\}$

$F \subset E \implies \lambda F \leq \lambda E \implies \beta \leq \lambda E$

По следствию из предыдущей теоремы $\forall \varepsilon >0 \;\exists \; F -замкнутое \; и\; F \subset E \; : \lambda(E\backslash F)< \varepsilon \iff \lambda E - \lambda F < \varepsilon \iff \lambda F + \varepsilon > \lambda E \implies \beta \geq \lambda E - \varepsilon, \; \varepsilon \rightarrow 0 \implies \beta \ge \lambda E.$

Теорема доказана.

</aside>

Или Следствие 1 из теоремы о регулярности меры Лебега