<aside> 🔥

Теорема. Предельный переход под знаком интеграла.

Пусть $f_n$ интегрируемы по Риману на $[a, b]$, $f_n \rightrightarrows_{n \rightarrow \infin}^{[a,b]}f(x)$. Тогда $f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$ и $\int_{a}^{b}f = \int_{a}^{b}\lim\limits_{n\rightarrow\infin}f_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\int_{a}^{b}f_n$.

</aside>

<aside> 🔥

Доказательство.

$(\tau,\xi)$ - разбиение $[a,b]$ с отмеченными точками. $|\sigma(f_n,\tau,\xi)-\sigma(f,\tau,\xi)| = \\ |\sum_{k=0}^{K}f_n(\xi_k)\Delta x_k - \sum_{k=0}^{K}f(\xi_k)\Delta x_k| \leq \sum_{k=0}^{K}|f_n(\xi_k)-f(\xi_k)|\Delta x_k$.

Из равномерной сходимости $|f_n(\xi_k)-f(\xi_k)| < \dfrac \varepsilon {b-a}$ Тогда $\sum_{k=0}^{K}|f_n(\xi_k)-f(\xi_k)|\Delta x_k < \sum_{k=0}^{K} \dfrac \varepsilon {b-a} \Delta x_k = \dfrac \varepsilon {b-a} \sum_{k=0}^{K} \Delta x_k = \varepsilon$. То есть, $\sigma(f_n, \tau, \xi) \rightrightarrows_{n\rightarrow\infin}^{(\tau,\xi)} \sigma(f, \tau, \xi)$.

По теореме о перестановке пределов $\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\lim\limits_{\lambda(\tau)\rightarrow0}\sigma(f_n,\tau,\xi)=\lim\limits_{\lambda(\tau)\rightarrow0}\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\sigma(f_n,\tau,\xi)$.

Левая часть. $\lim\limits_{\lambda(\tau)\rightarrow0}\sigma(f_n,\tau,\xi) = \int_{a}^{b}f_n$ .

Правая часть. $\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\sigma(f_n,\tau,\xi) = \sigma(f,\tau,\xi)$, а $\lim\limits_{\lambda(\tau)\rightarrow0}\sigma(f,\tau,\xi) = \int_a^b f$.

Таким образом, $\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\int_a^bf_n=\int_a^bf$. Теорема доказана.

</aside>

<aside> 🔥

Замечание. Почленное интегрирование ряда.

$S(x)=\sum_{k=1}^{\infin}f_k(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infin}S_n(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\sum_{k=1}^nf_k(x)$

Применим теорему выше к частичной сумме ряда

$\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\int_a^bS_n=\int_a^bS$

$\lim\limits_{n\rightarrow\infin}\sum_{k=1}^n\int_a^bf_k=\sum_{k=1}^\infin\int_a^bf_k=\int_a^b\sum_{k=1}^\infin f_k(x)$

</aside>