Дальше $E = [a; b]$
Представим $f_n$ в виде суммы:
$$ f_n=(f_n-f_n(c))+f_n(c) $$
Для равномерной сходимости $f_n$ достаточно равномерной сходимости обоих слагаемых. $f_n(c)$ равномерно сходится по условию, так что осталось доказать равномерную сходимость $f_n-f_n(c)$.
Зафиксируем $x_0 \in E$ и введем функцию $g_n$
$$ g_n(x)=g_{n,x_0}(x)= \frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}, \ x \in E \setminus \{x_0\} $$
Применим Теорему Лагранжа к функции $f_n-f_m$ ($n$ и $m$ в данном случае — любые натуральные числа)
$$ \forall n,m \in \N, \ x \in E \setminus {x_0}:\exist \xi \in (x,x_0): \frac{(f_n-f_m)(x)-(f_n-f_m)(x_0)}{x-x_0}=(f_n-f_m)'(\xi) $$
Заметим, что полученная дробь равна $(g_n-g_m)(x)$, следовательно
$$ (g_n-g_m)(x)=(f_n-f_m)'(\xi) $$
Так как $x$ и $x_0$ по сути произвольные, то $\xi$ тоже произвольное, а это означает, что
$\sup |g_n-g_m| \le \sup |f'_n-f'_m| \le \epsilon$ (меньше или равно стоит потому что $g_n-g_m$ не определено для $x_0$)
$\{f'_n\}$ равномерно сходится $\implies$по критерию Больцано-Коши $\{g_n\}$ равномерно сходится на $E \setminus \{x_0\}$