<aside> 👻 Пусть $f_0$ — функция с периодом 1, а ее сужение на $[0, 1]$ задается равенством:

$$ f_0(x) = \begin{cases} x, \quad x \in [0, \frac{1}{2}) \\ 1 - x, \quad x \in [\frac{1}{2}, 1] \end{cases} $$

Положим $f_k(x) = \frac{1}{4^k}f_0(4^kx)$ и $f := \sum^{\infty}_{k=0} f_k$, $k \in \N$

$f_k(x)$ — $\frac{1}{4^k}$ периодическая функция.

https://www.desmos.com/calculator/kznw5p9piw

https://www.desmos.com/calculator/qb02goe3ne

Красным — $f_0(x)$, черным — $f_k(x)$ при $0 \le k \le 5$. Ссылка на график Синим — график $f$. Сумма по значениям от 0 до 10. При сумме до бесконечности график становится максимально неровным в каждой точке. Ссылка на график

1. Покажем непрерывность функции $f$.

   По признаку Вейерштрасса ряд $f$ равномерно сходится на $\R$, так как $\forall k \in \N :f_k \le \frac{1}{2\cdot4^k}$ и ряд$\displaystyle\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{2\cdot4^k}$ сходится, т.к

   $$ \lim_{k \rarr+\infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| = \lim_{k \rarr+\infty} |\frac{\frac{1}{2\cdot4^{k+1}}}{\frac{1}{2\cdot4^k}}| = \frac{1}{4} < 1 $$

   Кроме того, $\forall k \in \N: f_k \in C(\R)$. Следовательно, по теореме Стокса-Зайделя $f \in C(\R)$.

   • Напоминание

   $C(\R)$ — функции непрерывные над $\R$

2. Докажем, что $f$ не дифференцируема ни в одной точке.

   Возьмем произвольную т. $a \in \R$ и проверим что $f$ не дифференцируема в т. $a$.

   Для каждого $n \in \Z_{+}$ построим такой отрезок, что:

   $$ \Delta_n = [\frac{q_n - 1}{2 \cdot 4^n}, \frac{q_n}{2 \cdot 4^n}], \quad что\ a \in \Delta_n, q_n \in \Z \\ \Darr \\ \exist x_n \in \Delta_n: |x_n - a| = \frac{1}{4^{n+1}} $$

   Поскольку длина отрезка $\Delta_n$ равна $\frac{1}{2\cdot4^n}$ на нем найдется точка $x_n$ отстоящая от $a$ на $\frac{1}{4^{n+1}}$.

   • Если $k > n$, то есть $f_k(x_n)=f_k(a)$ при $k > n$, тогда $\frac{1}{4^{n+1}}$ — период функции $f_k$, и поэтому:

   $$ f_k(x_n) = f_k(a \pm \frac{1}{4^{n+1}}) = f_k(a) \\ \dArr \\ \frac{ f_k(x_n) - f_k(a) } { x_n - a } = 0 $$

   • Если $0 \le k \le n$, то функция линейна на $\Delta_n$, а ее угловой коэффициент $\varepsilon_{k,n}$ равен $\pm1$ . Поэтому

   $$ A_n :=\frac{f(x_n) - f(a)}{x_n - a} =^{?} \sum^n_{k=0}\frac{f_k(x_n) -f_k(a)}{x_n - a} = \sum^n_{k=0}\varepsilon_{kn} $$

   ? — у Улицкой и у Виноградова разночтения. Первая считает, что должно быть следствие, а второй — равенство.

   Заметим, что $\forall n \in (\N \cup \{0\}), A_n, A_{n+1}$ имеют разную четность: $A_0 \in \{\pm1\}$ $A_1\in \{0, \pm 2 \}, A_2\in \{\pm1, \pm 3 \}$ и так далее (ведь замена 1 на -1 и наоборот вносит в сумму вклад, по модулю равный 2). Значит, $|A_n-A_{n+1}|≥1$ , а тогда, по критерию Коши, $A_n$ не существует.

   Итого, по определению предела по Гейне (нашли последовательность $x_n$, для которых предела не существует) и определению производной ($A_n$ задает подпоследовательность последовательности точек производной $f$ в точке $a$), $f$ не дифференцируема в $a$ – и так в произвольной точке R.

   Это означает, что $f$ не дифференцируема ни в одной точке.

   $\blacksquare$

</aside>