<aside> 📖

Определение(Степенной ряд): функциональный ряд вида $S(z) = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty c_k(z-z_0)^k$ $(*)$,

где $c_k, z, z_0 \in \Complex$, называется степенным рядом.

$c_k$ - коэффициенты ряда,

$z_0$ - центр ряда (ниже во втором определении на картиночке будет понятно почему это так называется). Если $a_k, x , x_0 \in \Reals$, то ряд вида $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k$ называется вещественным степенным рядом.

• К определению </aside>

<aside> 💡

Замечания:

1. Если $c_k=0 \ \forall k > n$, то $(*)$ - многочлен степени $\le n$.
2. Если $z=z_0$, то $(*)$ сходится к нулю. </aside>

<aside> 📖

Определение(Радиус сходящегося ряда): пусть дан ряд $(*)$. Величина $R \in [0; +\infty]$ называется радиусом сходящегося ряда, если

$1)\ \forall z: |z-z_0|< R$ ряд $(*)$ сходится;

$2) \ \forall z: |z-z_0|> R$ ряд $(*)$ расходится; $(z_0-R; z_0+R)$ - интервал сходимости.

• Картиночка </aside>

<aside> 💡

Теорема(Формула Коши-Адамара): всякий степенной ряд $(*)$ имеет радиус сходимости и он выражается формулой вида

$R = \dfrac {1} {\overline{\lim\limits_{n\rarr\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}}$ .

</aside>

<aside> 🙄

Доказательство:

Удовлетворяет ли $R$ условию из определения радиуса сходимости?

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Пусть $z \not= z_0$,

$K = \overline{\lim} \sqrt[n]{|c_n(z-z_0)^n|} = \overline{\lim} \underbrace{|z-z_0|}{x_n} \underbrace{\sqrt[n]{|c_n|}}{y_n}=|z-z_0|\overline{\lim}\sqrt[n]{|c_n|}$ (по лемме).

Если $|z-z_0|< R = \dfrac {1} {\overline{\lim\limits_{n\rarr\infty}}\sqrt[n]{|c_n|}}$ , то $K < 1$ и ряд сходится;

Если $|z-z_0| > R$, то $K > 1$ и ряд расходится.

</aside>

• Та лемма (учить ну хз, в лекции использовалось без доказательства)

<aside> 💡

Замечание: в доказательстве теоремы получена абсолютная сходимость.

</aside>

<aside> 📖

Определение(Круг сходимости):

Пусть $R \in (0;+\infty)$ - радиус сходимости (*). Множество $B(z_0, R)$ называется кругом сходимости.

Если $R\in (0; +\infty)$, то $(*)$ абсолютно сходится при $|z-z_0|< R$;

При $|z-z_0|=R$ поведение ряда может быть различным.

Для вещественного ряда условие $|x-x_0|<R$ задаёт интервал

$(x_0-R, x_0+R)$ - на нём ряд абсолютно сходится;

При $|x-x_0|> R$ ряд расходится;

При $x = x_0 \pm R$ поведение ряда может быть различным.

$B(z_0,R) = \{z\in\Complex: |z-z_0|< R \}$ - открытый шар (круг) с центром в $z_0$ радиуса $R$;

$\overline{B}(z_0, R) = \{z \in \Complex: |z-z_0| \le R \}$ - замкнутый шар (круг) с центром в $z_0$ радиуса $R$.

• Картиночка

$B(z_0, 0) = \varnothing, \ \ B(z_0, +\infty) = \Complex$

$\overline{B}(z_0, 0) = {z_0}, \ \ \overline{B}(z_0, +\infty) = \overline{\Complex}$

</aside>

<aside> 💡

Замечание: $R = \lim\limits_{n\rarr\infty}|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}|$, если предел существует.

В курсе это просто как замечание, но если кому-то надо, то вот:

• тык </aside>

<aside> 📝

Примеры(проверить):

$1) \displaystyle\sum^{\infty}_{k=0}z^k$ сходится при $|z|<1$ и расходится при $|z| > 1$

$R = 1$ , круг сходимости - $B(0,1)$, множество сходимости тоже $B(0,1)$

$2)\displaystyle\sum^{\infty}{k=1} \dfrac {z^k} {k^2} \ \ \ R = \dfrac {1} {\overline{\lim\limits{n\rarr\infty}}\sqrt[n]{\dfrac {1} {n^2}}} = 1$ , круг сходимости - $B(0;1)$.

Если $|z|=1$ , то ряд сходится абсолютно $\displaystyle\sum^{\infty}_{k=1} \dfrac {1} {k^2} \rArr$ множество сходимости - $\overline{B}(0;1)$.

$3) \displaystyle\sum^{\infty}{k=1} \dfrac {z^k} {k} \ \ \ R = \dfrac {1} {\overline{\lim\limits{n\rarr\infty}}\sqrt[n]{\dfrac {1} {n} }} = 1 \rArr$ круг сходимости - $B(0;1)$.

Если $z =1$ , то ряд расходится как гармонический ряд.

Но если $z\in \Complex, |z|=1, z\not= 1$ то ряд сходится по Дирихле.

Множество сходимости - $\overline{B}(0,1)\backslash\{1\}$.

$|\displaystyle\sum^{n}_{k=1}z^k|=|\dfrac {z-z^{n+1}} {1-z}|\le \dfrac {2} {|1-z|}$ - конечно для любого фиксированного $z$.

$4) \displaystyle\sum^{\infty}_{k=1} \dfrac {z^k} {k!}$, $R=+\infty$ (Зам. 3), множество и круг сходимости - $\Complex$.

$5) \displaystyle\sum^{\infty}_{k=0}k!*z^k$, $R=0,$ круг сходимости - $\{\varnothing\}$, множество сходимости - $\{0\}$.

</aside>

• Полезные и бесполезные ссылки

помогите

видимо еще одна полезная ссылка: http://internalfamilysystems.ir/wp-content/uploads/books/SelfTherapyV1.pdf