13. Свойства функций комплексной переменной $e^z$, $\sin(z)$, $\cos(z)$. Вячеслав Зорич

15. Объем, мера: определение, примеры. Конечная, вероятностная, $\sigma$-конечная мера.

<aside> <img src="https://prod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com/9217edb2-5217-4a83-9a81-383d42d7124e/e1f90673-45ad-4781-8979-50c197504052/define-location--v2.webp" alt="https://prod-files-secure.s3.us-west-2.amazonaws.com/9217edb2-5217-4a83-9a81-383d42d7124e/e1f90673-45ad-4781-8979-50c197504052/define-location--v2.webp" width="40px" />

[ Определение ] Полукольцо множеств

Система модмножеств $\mathcal P$ множества $X$ называется полукольцом, если выполняются следующие условия:

  1. $\varnothing \in \mathcal P$

  2. Если $A, B \in \mathcal P$, то $A \cap B \in \mathcal P$

  3. Если $A, B \in \mathcal P$, то

    $$ A \setminus B = \bigsqcup_{n = 1}^m Q_n, \quad Q_n \in \mathcal P., \text{Конечное объеденение} $$

</aside>

Попробую, попытаюсь объяснить пару 14.11

Введение (на экзе не нужно нахуй)

Для начала введем некоторые факты

$\forall a \sub \R^d$ - произвольное множество в $\R^d$

  1. $\vartheta(a)≥0$, где $\vartheta(a)$ - объем, мера

  2. $a \cap b = \varnothing, \vartheta ( a \cup b) = \vartheta (a) + \vartheta (b)$

Примечание: у Лебедевой было написано $a \cap b ≠ \varnothing$ и либо я не понял какой-то скрытый смысл (возможно связан с дизъюнктным объединением), либо там была ошибка. Пока я решил склоняться ко второму

Миш, мне похуй, я так чувствую

  1. Т - движение в $\R^d$ $\vartheta(T_a) = \vartheta (a)$

Если мы подвигали фигуру, от этого ее объем не изменится

  1. q - единичный куб $\vartheta(q) = 1$

Парадокс Банаха-Тарского (парадокс шара) (доп инфа с пары)

Определение: полукольцо множеств

$X$ - мн-во

$\Rho \sub 2^X$, $\Rho$ - называется полукольцом, если:

  1. $\varnothing \in \Rho$

  2. $a, b \in \Rho ⇒ a \cap b \in \Rho$

  3. $a,b \in \Rho ⇒ a \setminus b = \displaystyle\bigsqcup_{i=1}^I c_i,\ \ c_i \in \Rho$

    $\displaystyle\bigsqcup_{i=1}^Ic_i$ - дизъюнктное объединения, в нем $c_i$ не пересекаются (т.е. $c_i \cap c_j = \varnothing$) (упрощенно - объединение непересекающихся множеств) У Лебедевой как будто свое определение дизъюнктного объединения, потому тут внимательно, а именно $c_i$ не пересекаются. Это подтверждает и Виноградов.

    По вики (не в билетах): При нормальном дизъюнктном объединении, если $c_i$ все же пересекаются, то мы считаем, что пересекающиеся элементы не равны и добавляем их в объединение два раза. Т.е. фактически у нас $\bigsqcup_{i \in I} A_i= \bigcup_{i \in I} \{(x, i) | x \in A_i\}$ Еще раз, в билетах считаем, что $c_i \cap c_j = \varnothing$