14. Полукольцо множеств: определения, примеры, свойства
Да, мне было страшно, но я это сделал
$X$ - мн-во, $\Rho$ - полукольцо
Объем
функция $\mu: \Rho \rarr [0, +\infty]$ задаем какую-то функцию, что
1.1 $\mu\varnothing = 0$ (то же, что $\mu(\varnothing) = 0$)
1.2 она конечно-аддитивная, т.е.:
$a_1,…,a_n \in \Rho, \ \ \displaystyle{\bigsqcup_{k=1}^na_k = a \in \Rho}$ $⇒$
$\mu{(a)} = \displaystyle\sum_{k=1}^n\mu(a_k)$
тогда $\mu(a)$ называется объемом
Мера
Мера или Четверик — старорусская единица объёма, равная 26,24 литра.
$\mu: \Rho → [0, +\infty]$, такая что
2.1 $\mu\varnothing = 0$
2.2 счетно-аддитивная, т.е.:
$a_n \in \Rho, \text{ где } \ n\in \N, \ \ \displaystyle\bigsqcup_{n=1}^\infty a_n = a \in \Rho ⇒$
$⇒ \mu a= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\mu a_n$ - называется мерой
Прошу заметить, что $\mu$ - это функция, которую мы задаем сами и будет она мерой или объемом зависит от того, как мы ее задали. А теперь контринтуитивный факт
всякая мера - это объем, но не всякий объем - мера
“длина”:
$\Rho$ - мн-во отрезков
$\lang a , b \rang \sub \bar \R$
$\mu (\lang a, b\rang) = b - a$ ⇒ будет мерой
$f≥0$ интегрируемая по Риману в собственном или несобственном смысле на $\forall\lang a, b \rang \sub [-\infty,+\infty]$
$\mu(\lang a,b \rang) = \displaystyle \int_a^b f(x)dx$ $\Rho$ - мн-во промежутков
Это вроде будет мерой (при $b$ или $a$ = $\infty$, принимает значение = $\infty$)
То есть, понимаешь, ты должен страдать, и тогда..
“считающая” мера: считает размер множества
$X, \ \Rho$ - не более, чем счетное подмножество $X$
$a\in \Rho \quad \mu a = \#a \quad \mu(\{1,2,3\}) = 3$
$\mu(\N) = +\infty$
$\#X$ - одно из обозначений мощности множества $X$
объем, но не мера
Я как бы не понимал весь масштаб этого пиздеца
$X = \R^d, \ \Rho = 2^X$
$a\in \Rho \quad \mu a = \begin{cases} 0, \ a \ ограничено \\ +\infty, \ a \ не \ ограничено\end{cases}$
$\bigcup_{n=1}^\infty[-n, n] = \R$
$\mu ([-n,n]) = 0, \ \ \mu(\R) = +\infty$
2.2 не выполняется Чтобы промежутки не пересекались, возьмем $[n, n+1)$ (для него результаты такие же) т.к. $\mu a =\sum^{+\infty}{n=1} \mu([n, n+1)) = \sum^{+\infty}{n=1} 0 = 0$ но $\mu a = \mu \R = +\infty$ - противоречие! Для объема же такой хуйни не будет
Конечная мера
$X, \ \Rho$, $\mu$ - мера на $\Rho$
если $X \in \Rho$, $\mu X < +\infty$, то
$\mu$ называется конечной мерой
Вероятностная мера
Конечная мера, у которой $\mu X = 1$
$\sigma$ - конечная мера
$X = \displaystyle\bigcup_{j=1}^\infty X_j, \ \ X_j \in \Rho$ - т.е. $X$ представим в виде счетного объединения
$\mu X_j < + \infty$, то $\mu$ называется $\sigma$ - конечной