15. Объем, мера: определение, примеры. Конечная, вероятностная, $\sigma$-конечная мера.

17. Сигма-алгебра: определение, примеры. Определение и доказательство существования борелевской оболочки множества. Определение борелевской сигма-алгебры.

<aside> 📌 $1^o$: **Усиленная монотонность.

Пусть:** $X \ - \$ множество$,$ $\rho \ - \$ полукольцо подмножества $X,$ $\mu \ - \$ объем на $\rho.$

Если: $a \in \rho,$ $a_k \in \rho,$ при всех $k \in [1 : n]$ или $k \in \N,$ $a \supset \displaystyle\bigsqcup_k a_k,$

Тогда: $\mu a\ge \overset{\text{}}{\underset{\text{k}} \sum} \mu a_k.$

</aside>

• Замечание.
• Объяснение своими словами.
• Доказательство.

<aside> 📌 $2^o$: Полуаддитивность.

Пусть: $X \ - \$ множество$,$ $\rho \ - \$ полукольцо подмножества $X,$ $\mu \ - \$ объем на $\rho.$

Если: $a \in \rho,$ $a_k \in \rho,$ при всех $k \in [1 : n],$ $a \subset \overset{\text{n}}{\underset{\text{k=1}} \cup} a_k,$

Тогда: $\mu a \le \overset{\text{n}}{\underset{\text{k=1}} \sum} \mu a_k.$

Если $\mu \ - \$ мера$,$ то свойство верно и для счетного набора $a_k, \ k \in \N.$

• Замечание. </aside>

• Объяснение своими словами.

• Доказательство.

<aside> 📌 $3^0$: Непрерывность меры снизу.

Пусть: $X \ - \$ множество$,$ $\rho \ - \$ полукольцо подмножества $X,$ $\mu \ - \$ мера на $\rho.$

Если: $a_k \in \rho,$ при всех $k \in \N,$ $a_k \sub a_{k+1}$ (то есть $a_1 \sub a_2 \sub a_3 \sub ...$), $a := \overset{\infty}{\underset{\text{k=1}} \cup} a_k \in \rho,$

Тогда: $\mu a_k \rarr \mu a,$ при $k \rarr \infty.$

</aside>

• Доказательство.
• Объяснение.

<aside> 📌 $4^0$: Непрерывность меры сверху.

Пусть: $X \ - \$ множество$,$ $\rho \ - \$ полукольцо подмножества $X,$ $\mu \ - \$ мера на $\rho.$

Если: $a_k \in \rho,$ при всех $k \in \N,$ $a_k \supset a_{k+1}$ (то есть $a_1 \supset a_2 \supset a_3 \supset ...$), $a := \overset{\infty}{\underset{\text{k=1}} \cap} a_k \in \rho,$ $\mu a_1 \lt +\infty,$

Тогда: $\mu a_k \rarr \mu a,$ при $k \rarr \infty.$

</aside>

• Замечание.
• Доказательство.