16. Свойство объемов и мер: усиленная монотонность, полуаддитивность, непрерывность меры сверху и снизу. Характеристика меры.

18. Определение и свойства внешней меры. Определение $\mu^*$-измеримых множеств.

Определение сигма-алгебры

<aside> 📌 Определение. Пусть $X \ - \$ некоторое множество. Непустое множество $\mathscr{A}$ подмножеств $X$ $(\mathscr{A} \sub 2^X)$ называется $\textbf{}$$\sigma -$алгеброй, если: $1^o.$ $a \in \mathscr{A} \rArr a^c \in \mathscr{A},$ где $a^c$ - дополнение к $a \ (a^c=X \backslash a).$ $2^o.$ $a_k \in \mathscr{A}, \ k \in \N \rArr \overset{\infty}{\underset{\text{k=1}} \cup} a_k \in \mathscr{A}$

</aside>

  1. Первый пункт могут записывать как “$\sigma-$алгебра замкнута относительно дополнения”.
  2. Если во втором пункте у нас конечный набор $a_k,$ то есть $k = 1...n,$ тогда $\overset{n}{\underset{\text{k=1}} \cup} a_k \in \mathscr{A}.$ Для доказательства можно положить $a_k =a_n, \ \forall k \gt n.$ $\mathscr{A}$ у которой вместо второго пункта определения со счетным набором второй пункт из замечания с конечным набором называется алгеброй.
  3. Пункты $1$ и $2$ из определения $\sigma-$алгебры называются аксиомами $\sigma-$алгебры.

Примеры. $1. \ \{\empty , X\} \ - \$ самая бедная элементами $\sigma-$алгебра подмножеств $X.$ $2.$ $\ 2^X \ - \$ $\sigma-$алгебра. $3.$ $\mathscr{A} = \{ a \sub X \ | \ a$ счетно или $a^c$ счетно$\} -$совокупность не более чем счетных подмножеств $X$ и их дополнений есть $\sigma-$алгебра. Выполнение первой аксиомы $\sigma-$алгебры очевидно. Проверим второй: Пусть $a_k \in \mathscr{A}, \ a = \overset{\infty}{\underset{\text{k=1}} \cup} a_k.$ Если хотя бы одно из $a_k^c$ не более чем счетно, то и $a^c$ не более чем счетно. В противном случае все $a_k$ не более чем счетны, а тогда и $a$ не более чем счетно. $4.$ $A = \{ a \sub \R \ | \ a \ - \$ ограничено или $a^c \ - \$ ограничено$\} -$ алгебра, но не $\sigma-$алгебра, потому что $\{k\} \in A$ при всех $k \in \N,$ а $\N \not \in A.$

18. Определение и свойства внешней меры. Определение $\mu^*$-измеримых множеств.

Незатеханное продолжение билета