17. Сигма-алгебра: определение, примеры. Определение и доказательство существования борелевской оболочки множества. Определение борелевской сигма-алгебры.

19. Стандартное продолжение меры по Лебегу-Каратеодори (‡).

https://youtu.be/3bgY78-Rt54 — альтернатива

Мои комментарии и пояснения. Возможно, не очень строгие.

<aside> 💡 **Определение (**внешняя мера):

</aside>

• $X$, $P$ — полукольцо из $X$

• $\mu$ — мера на $P$

• $E\sub X$, тогда функцию

  $$ {\mu^*(E) = {\inf_{{a_k \in P; {E \subset \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty} a_k }}}}\{ {\sum\limits_{k=1}^{\infty}} \mu (a_k) \}} $$

называют внешней мерой $E$, порожденной мерой $\mu$. Но внешняя мера необязательно является мерой!

• Пояснения
• Если покрытий нет, то внешняя мера $E$ равна $+\infty$ ($\inf \empty = +\infty).$
• $\mu^* \empty = 0$

Свойства внешней меры

1. $E \in P \Rightarrow \mu^*E =\mu E$

   Док-во:

   1. Рассмотрим одно из счетных подмножеств $P$ — $\{E, \empty, \empty, \empty, \empty, ... \}$. Это покрытие $E$, тогда $\mu^*E\leq \mu E$ (по определению не больше, т.к. берем инфимумы).
   2. $\{a_k\}{k=1}^{\infty}$ — покрытие $E$, т.е. $E \subset {\displaystyle\bigcup{k=1}^{\infty} (a_k)}$ $\xRightarrow{полуаддитивность\ \mu}$ $\mu E\leq \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \mu (a_k) \Rightarrow$$\mu E$ — нижняя граница множества $\{{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}} \mu (a_k) \}$ $\Rightarrow$ $\mu E\leq \inf \{{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}} \mu (a_k) \} = \mu^* E$.

2. Счетная полуаддитивность (сначала посмотрите 29-й вопрос).

   <aside> 💡 Если $E_k\sub X$, $\displaystyle\bigcup_{k=1}^{+\infty}{E_k}$$\supset$ $E$, то $\mu^* (E)\leq \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\mu^*E_k$.

   </aside>

   Док-во:

   Случай, когда один из $E_k =+\infty$ очевиден.

   @Homka122: Тогда для каждого $E_k$ есть не более чем счетное покрытие из $P$: $\forall k \in \N : \exists \{a_{k_j}\}{j=1}^\infin$, такое, что $E_k \subset \displaystyle\bigcup{j=1}^\infin a_{k_j}$

   Тогда по определению $\inf$:

   $\forall \varepsilon >0\$ $\forall k \in \N$ $\exist \{{a_{k_j}}\}{j=1}^{\infty}$ такая, что $\displaystyle\bigcup{j=1}^{\infty}a_{k_j} \supset E_k$ (то есть существует не более чем счетное покрытие $E_k$ из элементов $a_{k_j}\in P$) и $\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}\mu a_{k_j}​ < \mu^* E_k + \dfrac{\varepsilon}{2^k}$ (посмотрите определение еще раз и помедитируйте).(тогда

   ---

   Теперь еще раз: у нас было какое-то множество $E$, мы покрыли его какими-то $E_k$. Затем взяли элементы из $P$ и c помощью них покрыли $E_k$, получив покрытие покрытия 🤯

   ---

   $$ \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcup_{j=1}^{\infty}a_{k_j} \supset \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\supset E \Rightarrow \{{a_{k_j}}\}_{k,j} - \text{покрытие}\ E. $$

   Тогда по определению $\mu^*$

   $$ \mu^*E \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}\mu a_{k_j} < \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(\mu^*E_{k} +\dfrac{\varepsilon}{2^k})=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(\mu^*E_k)+\varepsilon \ \blacksquare $$

<aside> 💡 **Определение ($\mu^*$-**измеримое множество):

</aside>

$a\subset X$ называют **$\mu^*$-**измеримым, если

$$ \forall E \subset X \text{ верно, что } \mu^E = \mu^(E\cap a)+\mu^*(E\cap a^c) $$

или же говорят, что $a$ аддитивно разбивает $E$.