18. Определение и свойства внешней меры. Определение $\mu^*$-измеримых множеств.

20. Определение полной меры, доказательство того, что стандартное продолжение меры является полной мерой.

Теорема Лебега-Каратеодори

<aside> 💡 $X,\mu$ — мера на полукольце $\mathbb{P} \subset 2^{X}$, $\mathcal{A}$ — множество всех $\mu^*$-измеримых подмножеств $X$. Тогда

1. $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра
2. $m := \mu^*|_{\mathcal{A}}$ (cужение $\mu$ на $\mathcal{A}$) — мера
3. $\mathbb{P} \subset \mathcal{A},\ \forall a \in \mathbb{P} \ ma = \mu a$ </aside>

<aside> 💡 Мера $m$ называется стандартным продолжением по Каратеодори меры $\mu$.

</aside>

Доказательство

Напоминание: множество $a \sub X$ — $\mu^$ измеримое, если $\\ \forall e \sub X \ \mu^e = \mu^(e \cap a) + \mu^(e \cap a^c) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)$

Для доказательства измеримости $a$ достаточно проверить, что $\mu^e \ge \mu^(e \cap a) + \mu^(e \cap a^c)$, т.к. неравенство со знаком “$\le$” верно в силу полуаддитивности $\mu^ \ (e = (e \cap a) \cup (e \cap a^c))$.

Так отмечаю то, что будет доказываться

Везде вроде указал, какие пункты/свойства используются, если что-то непонятно — пишите.

1) Первая аксиома $\sigma$-алгебры

$\mathcal{A} \ne \varnothing$, т.к. $X \in \mathcal{A}: \forall e \sub X \ \mu^e = \mu^(e \cap X) + \mu^*(e \cap X^c)$ (подставили $X$ вместо $a$).

Т.к. $(*)$ симметрично относительно замены $a$ на $a^c$, то верно $a \in \mathcal{A} \rArr a^c \in \mathcal{A}$.

1.1) Объединение множеств из $\mathcal{A}$ лежит в $\mathcal{A}$

Сначала докажем, что $a_1,a_2 \in \mathcal{A} \rArr a_1 \cup a_2 \in \mathcal{A}$. Пусть $e \sub X$. Тогда

$$ \mu^* e \xlongequal[]{a_1 \in \mathcal{A}} \mu^(e \cap a_1) + \mu^(e \cap a_1^c) \xlongequal[]{a_2 \in \mathcal{A}} \\ \mu^(e \cap a_1) + \mu^(e \cap a_1^c \cap a_2) + \mu^(e \cap a_1^c \cap a_2^c) \xlongequal[a_1^c \cap a_2 = (a_1 \cup a_2) \cap a_1^c]{a_1 = (a_1 \cup a_2) \cap a_1} \\ \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2) \cap a_1) + \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2) \cap a_1^c) + \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2)^c) \xlongequal[]{a_1 \in \mathcal{A}} \\ \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2)) + \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2)^c) $$

Т.к. $e \sub X$ произвольное, то $a_1 \cup a_2 \in \mathcal{A}$. Далее по индукции $a_1,\dots,a_n \in \mathcal{A} \rArr \\ \displaystyle\bigcup_{k=1}^{n} a_k \in \mathcal{A}$.

1.2) $\mu^* \Big( e \cap \displaystyle\bigcup_{k=1}^{n} a_k \Big) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \mu^*(e \cap a_k), \ a_k$ дизъюнктны

Если $a_1, a_2 \in \mathcal{A}$ дизъюнктны $(a_1 \cap a_2 = \varnothing)$, то

$$ \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2)) \xlongequal[]{a_1 \in \mathcal{A}} \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2) \cap a_1) + \mu^(e \cap (a_1 \cup a_2) \cap a_1^c) = \\ \mu^(e \cap a_1) + \mu^*(e \cap a_2) $$

Далее по индукции $a_1,\dots,a_n \in \mathcal{A}$ дизъюнктны $\rArr \mu^* \Big( e \cap \displaystyle\bigcup_{k=1}^{n} a_k \Big) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \mu^*(e \cap a_k)$.