19. Стандартное продолжение меры по Лебегу-Каратеодори (‡).

21. Единственность продолжения меры.

<aside> 💡 Определение (полная мера):

</aside>

• $X$, $P$ — полукольцо над $X$
• $\mu$ — мера на $P$
• Мера $\mu$ называется полной, если любое подмножество множества c мерой = 0 лежит в $P$ (тогда подмножество, разумеется, тоже имеет меру ноль).
• Виноградов

Теорема:

Стандартное продолжение — полная мера

Док-во:

• $P$ – полукольцо над $X$
• $\mu$ – мера на $P$
• $m$– стандартное продолжение над $A$.

Рассмотрим $a\in A$: $ma=0$ и $a_1\subset a$ – нужно доказать, ****что $a_1\in A$, то есть, что ****

$$ \forall e\subset X: \mu^(e) \geq \mu^(e\cap a_1)+\mu^*(e\cap a_1^c) $$

1. Для первого слагаемого:

$$ e\cap a_1 \subset e \cap a \subset a \xRightarrow{по\ полуаддитивности,\ 2-е\ свойство\ внешней\ меры} \mu^(e∩a_1) \leq \mu^(e∩a) \leq \mu^(a)=0 \Rightarrow \mu^(e\cap a_1)=0 $$

1. Для второго слагаемого:

$$ e∩a^c_1 \subset e \xRightarrow {\ полуад.}\mu^(e \cap a^c_1) \leq \mu^ e $$