(картинка фейк, т.к. Виноградов решил, что ему доказывать эту теорему не то чтобы хочется, поэтому инфа из учебника Макарова, конспекта и иногда из хранилища )
UPD: в конце пример частично из Виноградова 🤩
$X$ - множество, $\mathbb{P}$ - полукольцо подмножеств $X$, $\mu$ - мера на $\mathbb{P}$, $\mathbb{A}$ - $\sigma$-алгебра всех $\mu^*$-измеримых множеств, $m$ - стандартное продолжение меры $\mu$ на $\sigma$-алгебру $\mathbb{A}$, и пусть $\nu$ - продолжение меры $\mu$ на некоторую $\sigma$-алгебру $\mathbb{A}_1$, содержащую $\mathbb{P}$, тогда
Пусть существует счетное покрытие множества $\mathbb{A}$ элементами из $\mathbb{P}$ : $a_k \in \mathbb{P}$, $a \subset$ $\displaystyle\cup_{k=1}^\infty$ $a_k$
(Если такого покрытия не существует, то по определению внешней меры $m(a) = +\infty$ и неравенство тривиально)
(*) $\nu$ - мера, следовательно счётно полуаддитивна
(**) так как $\nu -$продолжение $\mu$ и $a_k \in \mathbb{P}$
$\nu (a) \le^* \sum_{k=1}^{\infty}\nu (a_k)\xlongequal{**} \sum_{k=1}^{\infty} \mu(a_k)$
то есть $\nu (a)$ - миноранта покрытий, а значит (так как инфинум - наибольшая миноранта по определению) $\boxed{\nu (a) \le m (a)}$ (если не пон - повтори определение внешней меры и m)