23. Сигма-множество, Дельта-сигма-множество, структура измеримого множества конечной меры.

Теорема

Пусть $P$ - полукольцо над $X$ с мерой $\mu$. Мера $\mu$ порождает внешнюю меру $\mu^*$.

$m$ - является стандартным продолжением меры $\mu$ над $A$, которое определяется через сужение внешней меры $\mu^$ на множество $A$, где $A$ - множество всех $\mu^$-измеримых множеств.

$e \subset X, \ \forall\varepsilon >0,\ \exist \ a_\varepsilon, \ b_\varepsilon \in A: \ a_\varepsilon \subset e \subset b_\varepsilon и \ m(b_\varepsilon \setminus a_\varepsilon) \lt \varepsilon$. Тогда $e \in A$

Доказательство

Пусть $\varepsilon= \frac{1}{n}, n \rarr \infty$. Также пусть $\forall n \in N, \ \exist a_n, b_n \in A: a_n \subset е \subset b_n, m(b_n \setminus a_n) < \frac {1}{n}$

Пусть $a = \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} a_n, \ b = \displaystyle\bigcap _{n=1} ^ {\infty} b_n; \ a, b \in A$. Тогда

$\forall n \in N : b \setminus a \subset b_n \setminus a_n \rArr 0 < m(b \setminus a) \leq m(b_n\setminus a_n)< \frac {1}{n}, n \rarr \infty \rArr m(b \setminus a) = 0$

Запишем $e=a \cup (e \setminus a)$

Теперь докажем, что $e \setminus a \in A$:

$e\setminus a \subset b \setminus a$, а также $m(b\setminus a)=0 \xRightarrow[]{m - полная \ мера} e \setminus a \in A$

А т.к. $e\setminus a \in A, \ a \in A \rArr e=a \cup (e\setminus a) \in A$

$\blacksquare$