24. - Теорема о произведении полуколец. Полукольцо ячеек
Как и раньше, в этом билете $X$ - множество, $\mathbb{P}$ - полукольцо подмножеств $X$, $\mu$ - мера на $\mathbb{P}$, $\mathbb{A}$ - $\sigma$-алгебра всех $\mu^*$-измеримых множеств, $m$ - стандартное продолжение меры $\mu$ на $\sigma$-алгебру $\mathbb{A}$
поехали
$a$ - $\sigma$-множество, если $a = \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}p_k$ , $p_k \in \mathbb{P}$
Замечание 1: по 2му свойству $\mathbb{P}$ можно найти дизъюнктные $p_k : a = \displaystyle\bigsqcup^{\infty}_{k=1}p_k$
Замечание 2: пересечение конечного количества $\sigma$-множеств - тоже $\sigma$-множество
В самом деле, если $a = \displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}p_k$ и $b = \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}q_n$, то $a\cap b =\displaystyle{\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty}}(p_k \cap q_n)$
$b$ - $\delta\sigma$-множество, если $b = \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}a_n$ , $a_n$ - $\sigma$-множество
Замечание: можно считать, что $a_1 \supset a_2 \supset a_3...$
В самом деле, рассмотрим $c_k =\displaystyle\bigcap_{n=1}^{k}a_n$:
$c_k$ - $\sigma$-множество, $c_1 \supset c_2 \supset c_3...$ и $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}c_n = \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}a_n$