[ Определение ] Произведение полуколец.

$\mathcal P, Q$ - полукольца Система множеств $\mathcal P \times \mathcal Q$, введенная ниже, является произведением полуколец

$$ \mathcal P \times \mathcal Q = \{P \times Q, \ P \in \mathcal P, \ Q \in \mathcal Q\} $$

</aside>

$P ×Q=\{p×q:p\in P, q\in Q\}$ - произведение полуколец. $P, Q$ - полукольца

$P_d=\{[\vec{a}; \vec{b}) | \vec{a}; \vec{b} \in \vec{\R^d} \}=P_1×P_1×...×P_1$ и так d раз. $P_1 -$полукольцо

Теорема

Произведение полуколец - полукольцо

Доказательство

Для доказательства проверим свойства полукольца:

$\varnothing \in P, \varnothing \in Q \Rarr \varnothing \times \varnothing = \varnothing \in P \times Q$
Пусть $e_1, e_2 \in P×Q: e_1=p_1×q_1, e_2=p_2×q_2; p_1, p_2 \in P, q_1, q_2 \in Q$ Тогда $e_1 \cap e_2 =(p_1 \cap p_2)×(q_1 \cap q_2) \in P×Q$
Пусть $e_1, e_2 \in P×Q: e_1=p_1×q_1, e_2=p_2×q_2; p_1, p_2 \in P, q_1, q_2 \in Q$. Пусть также $e_2 \subset e_1$ По свойству полуколец: $p_1-p_2= \bigcup_{i=1}^n u_i \\ q_1-q_2=\bigcup {j=1}^m v_j$ где $\forall i=1..n, j=1..m: u_i \in P, v_j \in Q$ дизъюнктивны. Обозначим $u{n+1} :=p_2, v_{m+1}=q_2$. Тогда $e_1=p_1×q_1=\cup_{i=1}^{n+1}u_i×\cup_{j=1}^{m+1}v_j=\cup_{i=1}^{n+1} \cup_{j=1}^{m+1}u_i×v_j$. $e_2=p_2×q_2=u_{n+1}×v_{m+1}$. Значит $e_1-e_2=\cup_{i=1}^{n+1} \cup_{j=1}^{m+1}(u_i×v_j)-(u_{n+1}×v_{m+1})=(\cup_{i=1}^{n} \cup_{j=1}^{m}u_i×v_j) + (\cup_{j=1}^{m}v_j×u_{n+1}) + (\cup_{i=1}^{n}u_i×v_{m+1})$. А все $u_i×v_j \in P×Q$ дизъюнктивны

$\blacksquare$

<aside> 💡

@Homka122 Ячейки

Пусть $a, b \in R^d$. Тогда $[a; b)=(x \in R^d: a_i\leqslant x_i\lt b_i, i=1..d) - ячейка$

</aside>