24. - Теорема о произведении полуколец. Полукольцо ячеек

26. Классический объем является $\sigma$- конечной мерой. Мера Лебега.

<aside> ✅ Определение (классический объём): На $P_d$ функция $\boxed{\nu_d([a,b)) = \displaystyle\prod_{i=1}^d(b_i-a_i)}$ — классический объём.

</aside>

<aside> ☑️ Теорема (произведение объёмов): Пусть $P,\,\,Q$ — полукольца, $\mu,\,\nu$ — объёмы на $P,\,\,Q$ соответственно, $p\in P,\,q\in Q$ $\lambda: P \times Q \rightarrow[0; +\infty]$ $\lambda(p \times q) = \mu(p) \cdot \nu (q)$, тогда $\lambda$ — объём на $P \times Q$.

</aside>

<aside> 🇺🇿 Доказательство:

Имеем:

  1. Если $\boxed{p \times q = \varnothing}$ , то $p = \varnothing$ или $q = \varnothing$, тогда $\boxed{\lambda (p \times q) = \mu p \cdot \nu q = 0}$ по свойствам объёмов.

  2. $\boxed{p, p_1,p_2,…,p_n \in P}$ , $\boxed{q,q_1,q_2,…,q_n \in Q}$

Нужно доказать, что:

$$ \boxed{\lambda(p\times q) = \displaystyle\sum_{k=1}^n\lambda(p_k\times q_k)} $$

</aside>

<aside> 💡 Следствие (классический объём является объёмом)

</aside>

https://docs.google.com/document/d/1j7ta1F5fcsNFw1Oq1-wWcQpRR4j_XOeX/edit#bookmark=id.3whwml4