25. Теорема о произведении объёмов. Классический объём является объёмом

27. Измеримость по Лебегу параллелепипеда и счетного множества

Теорема: $V_d$ является $\sigma$ -конечной мерой на полукольце ячеек $P_d$.

<aside> 💡 Доказательство:

1)Рассмотрим такое полукольцо ячеек на множестве $R^d:$ $P_d =$ $\displaystyle\bigcup_{K \in \Z}^{}[k, k+1)$,

где $k - вектор$, $1 = (1, 1, ..., 1)$. $V_d([k, k + 1)) = 1$

2)Докажем, что $V_d - мера$. Мы знаем, что $V_d -объем$, и по теореме о характеристике меры достаточно доказать счетную полуаддитивность.

Условие полуаддитивности следующее: Пускай у нас есть ячейки

$[\overline{a}, \overline{b}),[\overline{a}_n, \overline{b}n) \in P_d,$ и $[\overline{a}, \overline{b}) \subset \displaystyle\bigcup{n=1}^{\infty}[\overline{a}_n, \overline{b}n)$ , тогда $V_d([\overline{a}, \overline{b}))\le \displaystyle\sum{n=1}^{\infty}V_d([\overline{a}_n, \overline{b}_n))$.

Эту штуку и надо доказать. Чтобы было проще воспринимать, что из себя представляют объемы, и почему тут неравенство - вот картинка:

Пусть $\overline{a_n} = (a_{n1}, ..., a_{nd})$, и $\overline{a_n}' = (a_{n1}', ..., a_{nd}')$, у которых $a'{nj} < a{nj}$.

$V_d([\overline{a}'_n, \overline{b}_n)) < V_d([\overline{a}_n, \overline{b}_n)) + \dfrac{\varepsilon}{2^n}$ - это верно, т.к $V_d - непрерывна.$

Ещё картинка, которая поясняет, что тут написано:

Рассмотрим компакт $[\overline{a}, \overline{t}]$, а потом растянем его до вектора $\overline{b}$. У него будут закрытые границы, а это значит, что мы можем найти конечное покрытие для него.

Т.к. это компакт, то потом мы можем сказать, что у нас есть именно конечная полуаддитивность.

Запишем следующую штуку:

$$ [\overline{a}, \overline{t}] \subset [\overline{a}, \overline{b}) \subset \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}[\overline{a}_n, \overline{b}n) \subset \bigcup{n=1}^{\infty}(\overline{a}'_n, \overline{b_n}) $$

Последнее в данной записи является открытым покрытием для всех наших квадратов.

Второй знак вхождения справедлив по этой картинке.

Из того, что $[\overline{a}, \overline{t}]$ - компакт следует, что

$$ \exists N: [\overline{a}, \overline{t}] \subset \displaystyle\bigcup_{n=1}^{N}(\overline{a}'_n, \overline{b}n) \Rarr [\overline{a}, \overline{t}] \subset \displaystyle\bigcup{n=1}^{N}[\overline{a}'_n, \overline{b}_n) \Rarr $$

$$ \xRightarrow[объема V_d]{по \space конечной \space полуаддитивности} V_d([\overline{a}, \overline{t}))\le \displaystyle\sum_{n=1}^{N}V_d([\overline{a}'_n, \overline{b}_n)) $$

$$ \le \displaystyle\sum_{n=1}^{N}(V_d([\overline{a}_n, \overline{b}n)) + \dfrac{\varepsilon}{2^n} \le \displaystyle\sum{n=1}^{\infty}(V_d([\overline{a}_n, \overline{b}_n)) +\varepsilon $$

Устремим $\varepsilon$ к нулю, а $t$ к $b$, и получим:

$\displaystyle\lim_{t -> b}V_d([\overline{a}, \overline{t})) = V_d([\overline{a}, \overline{b}))$. Из наших неравенств и перехода к пределу получили, счетную полуаддитивность, т.к. для неё должно выполняться следующее условие: $\mu A =$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \mu A_k$.

$\blacksquare$

</aside>

Мера Лебега:

<aside> 💡 Мерой Лебега в пространстве $\R^d$ называют стандартное продолжение $V_d$ , определенное на $P_d$, где $P_d$ - полукольцо ячеек.

</aside>

При этом полученные $\sigma$-алгебры $A_d$ измеримых по лебегу множеств обозначают $\lambda_{d}$,

где $d$ - размерность пространства.

$\mu^*e\ =\ \inf\ \{{\sum_{Vd}(\overline{a}_n,\ \overline{b}_n) |\ e\ \subset\bigcup\ [\overline{a}_n,\ \overline{b}_n)},\ \overline{a}_n,\ \overline{b}_n \in P_a\}$ - внешняя мера.