27. Измеримость по Лебегу параллелепипеда и счетного множества

29. Приближение измеримых по Лебегу множеств открытыми, замкнутыми множествами.

<aside> 💡 Определение

Пусть $P_{d, \mathbb{Q}} = \{~ [a , b) \sub \R^d ~|~ a, b \in \overline{\mathbb{Q}}^d\}$, где $\overline{\mathbb{Q}}$ — множество рациональных чисел, допускающее использование $\infin$ и $-\infin$. Заметим, что в $P_{d, \mathbb{Q}}$ счетно элементов, так как каждый $p \in P_{d, \mathbb{Q}}$ можно задать при помощи $2d$ рациональных чисел, а $\mathbb{Q}$ счетно.

</aside>

<aside> 💡 Теорема (структура открытого множества в $\R^d$)

Всякое открытое $G \sub \R^d$ представляется как счетное дизъюнктивное объединение ячеек $p$, таких, что $\overline{p} \sub G$ (замыкание ячейки лежит в $G$)

• Доказательство </aside>

<aside> 💡 Следствие

Открытое множество измеримо

• Доказательство </aside>

<aside> 💡 Следствие (Вячеслав Зорич)

Любое борелевское множество измеримо по Лебегу

• Доказательство </aside>