28. Структура открытого множества в $\R^d$. Измеримость по Лебегу открытого множества, борелевского множества.

30. Определение регулярной меры. Регулярность меры Лебега. Вячеслав Зорич

Теорема: Приближение измеримых по Лебегу множеств открытыми множествами

<aside> 💡

$\forall E \in \mathcal{A}_d, \forall \varepsilon > 0 ~~\exists G \text{ открытое}: E \subset G :\lambda(G \setminus E) < \varepsilon.$

</aside>

Доказательство

<aside> 🧠

  1. Если $\lambda E < + \infty.$ По определению $\mu^*$: $\exists [a_n, b_n) \in P^d: E \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n);$ $E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} [a_n, b_n)$ И справедливо следующее: $\sum_{n=1}^{\infty} \lambda([a_n, b_n)) < \lambda E + \varepsilon.$

    Представим $(a_n, b_n) = \bigcap_{k=1}^{\infty} (a_n - \frac{1}{k}*\textbf1, b_n)$. ($\textbf 1$ - это вектор из единичек)

    Тогда $\lambda((a_n, b_n)) = \lim\limits_{k \rarr \infty}{\lambda((a_n - \frac{1}{k}\textbf1, b_n))}$ Из этого следует: $\forall n \in \mathbb{N}~ \exists K_0 = K_0(n): \lambda((a_n - \frac{1}{k_0}\textbf1, b_n)) < \lambda((a_n, b_n)) + \frac{\varepsilon}{2^n}.$

    Возьмем $a_n' := a_n - \frac{1}{k_0}*\textbf1$ и $G := \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_n', b_n)$ ($G$ открытое и $E \subset G$.)

    Тогда получаем:

    $\lambda G \leq \sum_{n=1}^{\infty} \lambda([a_n', b_n)) \lt \sum_{n=1}^{\infty} (\lambda([a_n, b_n)) + \frac{\varepsilon}{2^n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda((a_n, b_n)) + \varepsilon < \lambda E + 2\varepsilon$. В итоге:

    $\lambda G - \lambda E = \lambda(G \setminus E) < 2\varepsilon.$

    Этого пункта на паре не было (забыли его дать). Так что пруф фул из хранилища

  2. Пусть теперь $\lambda E = + \infty$. Тогда $E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n,$ где $\forall n \in \mathbb{N}: \lambda E_n < + \infty.$ По предыдущему пункту:

    $\forall n \in \mathbb{N}: \exists G_n$ открытое и $E_n \subseteq G_n$, тогда $\lambda(G_n \setminus E_n) < \frac{\varepsilon}{2^n}.$

    Введем открытое $G := \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n$. Тогда:

    $E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n = G$ и к тому же $G \setminus E = \bigcup_{n=1}^{\infty} (G_n \setminus E) \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} (G_n \setminus E_n)$. Получаем:

    $\lambda(G \setminus E) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(G_n \setminus E_n) < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon.$
    $~~~~~\square$

</aside>

Следствие: Приближение измеримых по Лебегу множеств замкнутыми множествами.

<aside> 💡

$\forall E \in \mathcal{A}_d, \varepsilon > 0 ~~\exists F \text{ замкнутое} ~и ~ F \subseteq E: \lambda(E \setminus F) < \varepsilon.$

</aside>

Доказательство (из хранилища):

<aside> 🧠

Из теоремы выше: $\exists G$ открытое и $E^C \subseteq G$, такое, что $\lambda(G \setminus E^C) < \varepsilon$. Тогда возьмем $F := G^C$ замкнутое. $F \subseteq E$ и $E \setminus F = G \setminus E^C,$ тогда

$\lambda(E \setminus F) \leq_{полуаддитивность} \lambda(G \setminus E^C) < \varepsilon.$ $\square$

</aside>

ну вот такой билетик. Я пока не ботал матан, поэтому пояснений особых не добавил. Задавайте вопросы в комментариях чтобы было понятно, что надо добавить